Question

如图,在直棱柱ABCA₁B₁C₁中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA₁=3,D是BC的中点,点E在棱BB₁上运动.

(1)证明:AD⊥C₁E;

(2)当异面直线AC,C₁E所成的角为60°时,求三棱锥C₁A₁B₁E的体积.

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】

(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,

所以AD⊥BC. ①

又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,

而AD⊂平面ABC,所以AD⊥BB1. ②

由①②,得AD⊥平面BB1C1C.

由点E在棱BB1上运动,得C1E⊂平面BB1C1C,

所以AD⊥C1E.

(2)解:因为AC∥A1C1,

所以∠A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角.

由题意知∠A1C1E=60°.

因为∠B1A1C1=∠BAC=90°,

所以A1C1⊥A1B1.

又AA1⊥A1C1,

从而A1C1⊥平面A1ABB1.

于是A1C1⊥A1E.

故C1E==2.

又B1C1==2,

所以B1E==2.

从而=·A1C1=××2××=.