Question

已知函数f（x）=lnx－ax（a>0）．

（I）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值；

（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范围．

Answer

（I）单调递增区间为，递减区间为；极大值为，无极小值；

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（I）先求导再讨论其单调性，根据单调性可求其极值。（Ⅱ）先求导再讨论其单调性，根据单调性可求其最值。对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，即。

试题解析：（I）当时，，所以，

当时，，当时，，

所以函数的单调递增区间为，递减区间为。

所以当时函数取得极大值为，无极小值。

（Ⅱ）因为又，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减。

所以当时，函数取得最大值，

因为对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，所以，即，可得，

所以a的取值范围为。

考点：1导数；2利用导数研究函数性质。