Question

如图，在三棱柱中，平面，，， ，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意可根据中点证平行四边形得线线平行，再根据线面平行的性质定理得线面平行。（Ⅱ）由已知条件易得平面．由（Ⅰ）知∥，即平面。根据面面垂直的判定定理可得平面平面。（Ⅲ）法一普通方法：可用等体积法求点到面的距离，再用线面角的定义找到线面角后求其正弦值。此法涉及到大量的计算，过程较繁琐；法二空间向量法：建立空间直角坐标系后先求面的法向量。与法向量所成角余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值。

试题解析：证明：（Ⅰ）

取的中点，连结，交于点，可知为中点，

连结，易知四边形为平行四边形，

所以∥．

又平面，平面，

所以∥平面． 4分

证明：（Ⅱ）因为，且是的中点，

所以．

因为平面，所以．

所以平面．

又∥，所以平面．

又平面，

所以平面平面． ９分

【解析】
（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，

则，, ，．

，，．

设平面的法向量为.

则

所以

令.则.

设向量与的夹角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分

考点：1线线平行、线面平行；2线线垂直、线面垂直；3线面角。