Question

已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义及椭圆的几何性质易得， ，即可得其椭圆方程。（Ⅱ）设出直线方程，然后联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程，再根据韦达定理得出根与系数的关系式。先求出再将、代入求得的值，由弦长公式求出，再用点到线的距离公式其点到直线的距离，此距离即为△底边上的高。用三角形面积公式可求得△的面积。

试题解析：解（Ⅰ）依题意有，．

故椭圆方程为． ５分

（Ⅱ）因为直线过右焦点，设直线的方程为 .

联立方程组

消去并整理得． （*）

故，．

．

又，即．

所以，可得，即 ．

方程（*）可化为，由，可得．

原点到直线的距离.

所以． 13分

考点：1椭圆的基础知识；2直线与椭圆的位置关系；3弦长公式；4点到直线的距离。