Question

直三棱柱中，，，，D为BC中点.

（Ⅰ）求证：;

（Ⅱ）求证：;

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由等腰三角形底边中线即为高线可得，由三棱柱为直棱柱可得侧棱垂直底面从而垂直底面内的任意一条直线，即可得，根据线面垂直的判定定理可得。（Ⅱ）连接交于，连接。可知为中点。由三角形中位线可证得//，再根据线面平行的性质定理可得。（Ⅲ）建立空间坐标系，根据各边长可得各点的坐标，从而可求出面的法向量。由题意可证得，所以即为面的一个法向量。可用向量数量积公式求两法向量所成角的余弦值。但两法向量所成的角与二面角相等或互补，需根据题意判断。

试题解析：(Ⅰ) 因为 三棱柱中，平面，所以

所以CC1AD 1分

AB=AC，且D为AC中点

ADBC 2分

3分

AD平面BC1 4分

（Ⅱ）

连接A1C交AC1于M，连接DM

侧面AC1为平行四边形

M为A1C中点 5分

D为BC中点

DM//A1B 6分

7分

A1B//平面AC1D 8分

（Ⅲ）在直三棱柱中，AA1平面ABC

AA1AB，AA1AC

又ABAC 9分

以A为坐标原点，AB为Ox轴，AC为Oy轴，AA1为Oz轴建立空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C1（0，1，），

A1（0，0，），

， 10分

设平面AC1D的法向量为=(x,y,z)，

令z=1，则

11分

又AB平面AC1

平面AC1的法向量 12分

若二面角D-AC1-C的大小为

因为 13分

又 由图可知二面角D-AC1-C为锐角，

二面角的余弦值为

即，。 14分

考点：线线垂直、线面垂直、线面平行，二面角。