Question

如图，在三棱锥中，平面平面,，．设，分别为，中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面;

（Ⅲ）试问在线段上是否存在点，使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，点是线段中点。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由中位线直接可得∥，由线面平行的判定定理可直接证得∥平面。（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理需证和面内的两条相交直线都垂直。已知条件中已有，又因为已知平面平面,，由面面垂直的性质定理可得面，有线面垂直可得线线垂直。问题即可得证。（Ⅲ）要使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平面平行，只需证面DEF与面PBC平行即可。根据面面平行的定理，需证面DEF内的两条相交线都和面PBC平行。第一问中已征得∥平面，根据第一问的思路，F别为AB的中点，就可同（Ⅰ）证出PF与面PBC平行。

试题解析：证明：

（Ⅰ）因为点是中点，点为的中点，

所以∥．

又因为面，面，

所以∥平面． 4分

（Ⅱ）因为平面面, 平面平面=,又平面，，所以面.

所以．

又因为，且，

所以面． 9分

（Ⅲ）当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行．

取中点，连，连.

由（Ⅰ）可知∥平面．

因为点是中点，点为的中点，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面．

又因为，

所以平面∥平面，

所以平面内的任一条直线都与平面平行．

故当点是线段中点时，过点,,所在平面内的任一条直线都与平面平行． 14分

考点：1.线面平行；2.线面垂直；3.面面平行；4.面面垂直。