Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值.

Answer

（Ⅰ）、；（Ⅱ）当时；当时，；当时，的最小值为。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导，代入0可求得a的值。再将代入原函数求，既得切点坐标，再将代入导函数求，根据导数的几何意义可知即为切线在点处切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求得切线方程。（Ⅱ）先求导数，及其零点，判断导数符号变化，即可得原函数增减变化，可得其极值。再求其端点处的函数值。比较极值和端点处函数值最小的一个即为最小值。此题注意分类讨论。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）已知函数，

所以，，

又，所以.

又，

所以曲线在点处的切线方程为. 5分

（Ⅱ），

令，则.

（1）当时，在上恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以；

（2）当时，在区间上，，在区间上，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且是

上唯一极值点，所以；

（3）当时，在区间上，（仅有当时），所以 在区间上单调递减

所以函数.

综上所述，当时，函数的最小值为，

时，函数的最小值为 13分

考点：（1）导数、导数的几何意义（2）利用导数研究函数性质