Question

如图，已知平面，四边形是矩形，，，点，分别是，的中点．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若点为线段中点，求证：∥平面．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为平面，所以为三棱锥的高。因为是矩形，所以可求底面的面积，根据锥体体积公式可求此三棱锥的体积。（Ⅱ）根据平面，四边形是矩形，可证得平面，从而可得，再根据等腰三角形中线即为高线可得，根据线面垂直的判定定理可得平面。（Ⅲ）连结交于，可证得为中点，由中位线可证得∥，再由线面平行的判定定理可证得∥平面。

试题解析：（Ⅰ）【解析】
因为平面，

所以为三棱锥的高． 2分

，

所以． 4分

（Ⅱ）证明：因为平面，平面，所以，

因为， 所以平面

因为平面， 所以． 6分

因为，点是的中点，所以，又因为，

所以平面． 8分

（Ⅲ）证明：连结交于，连结，．

因为四边形是矩形，所以，且，

又，分别为，的中点， 所以四边形是平行四边形，

所以为的中点，又因为是的中点，

所以∥， 13分

因为平面，平面，

所以∥平面. 14分

考点：1线线垂直、线面垂直；2线线平行、线面平行；3棱锥的体积。