Question

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．

（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；

（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据甲乙平均成绩相等列等式，得，可求的值为1；（Ⅱ）因为的取值具有随机性，故，有10种可能，而乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能，故所求事件的概率为；（Ⅲ）从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，数学成绩之差的绝对值不超过2分有7种，故概率为.

试题解析：（Ⅰ）解：依题意，得，解得.

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，

依题意 ，共有10种可能.

由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，

所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．

（Ⅲ）【解析】
设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件，

当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，它们是：，，，，，，，，，

所以事件的结果有7种，它们是：，，，，，，. 因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.

考点：1、平均数；2、古典概型；3、茎叶图.