Question

已知函数，其中是自然对数的底数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，求函数的最小值.

Answer

（Ⅰ）的单调减区间为；单调增区间为；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导函数，得，令，得递增区间为；令，得递减区间为；（Ⅱ）令，得，讨论与区间的位置关系，当，或时，函数单调，利用单调性求最值；当，将定义域分段，分别判断导函数符号，得单调区间，判断函数的值图像，从而求得最值.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
因为，，所以．

令，得．当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

故的单调减区间为；单调增区间为．

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ），得的单调减区间为；单调增区间为．

所以当，即时，在上单调递增，

故在上的最小值为；

当，即时，

在上单调递减， 在上单调递增，

故在上的最小值为；

当，即时，在上单调递减，

故在上的最小值为.

所以函数在上的最小值为

考点：1、导数在单调性上的应用；2、导数在极值、最值上的应用.