Question

设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）证明： （）的充分必要条件为；

（Ⅲ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知得，，，，又，根据取整函数的性质，得，，.进而求；（Ⅱ）充分性的证明：因为，且，故，从而；必要性的证明，因为，故，又，，则有；（Ⅲ）已知数列的前项和（），可求得，由取整函数得，，故，要证明，只需证明，故可联想到，则；

试题解析：（Ⅰ）【解析】
因为等比数列的，，所以，，.

所以，，.则.

（Ⅱ）证明：（充分性）因为，所以对一切正整数n都成立.

因为，，所以.

（必要性）因为对于任意的，，

当时，由，得；当时，由，，得.

所以对一切正整数n都有.因为，，所以对一切正整数n都有.

（Ⅲ）证明：因为，所以，

.

因为，所以，.由，得.

因为，所以，

所以，即.

考点：1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.