Question

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．

（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；

（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列详见解析，期望.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据甲乙平均成绩相等列等式，得，可求的值为1；（Ⅱ）因为的取值具有随机性，故，有10种可能，而乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能，故所求事件的概率为；（Ⅲ）从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，分别计算每组两名同学数学成绩之差的绝对值，以确定的取值，并分别求取相应值的概率，写出分布列并求期望.

试题解析：（Ⅰ）解：依题意，得 ，解得 .

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，依题意 ，共有10种可能.

由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．

（Ⅲ）【解析】
当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：，，，，，，，，

则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为.

因此，，，，.

所以随机变量的分布列为：

0

1

2

3

4

所以的数学期望．

考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望.