Question

已知函数，其中是自然对数的底数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）的单调减区间为；单调增区间为；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导得，，因为，所以的解集为，即单调递增区间；的解集为，即单调递减区间；（Ⅱ）函数，令，得，显然是一个零点，记，求导得，易知时递减；时递增，故的最小值，又，故，即，所以函数的零点个数1个.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
因为，，所以．

令，得．当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

故的单调减区间为；单调增区间为．

（Ⅱ）【解析】
结论：函数有且仅有一个零点. 理由如下：

由，得方程， 显然为此方程的一个实数解.

所以是函数的一个零点. 当时，方程可化简为.设函数，则，令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

即的单调增区间为；单调减区间为．所以的最小值.

因为 ， 所以，所以对于任意，，因此方程无实数解．所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点. 考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的极值和最值；3、函数的零点.