Question

设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.

（Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知得，，，，且当时，.且，故，，，且当时，，进而求；（Ⅱ）已知数列的前项和（），可求得，由取整函数得，，故，要证明，只需证明，故可联想到，则；（Ⅲ）先证明充分性，当时，，由取整函数的性质得，故；必要性的证明，当时，，则有.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由等比数列的，，得，，，且当时，.

所以，，，且当时，.

即

（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，.

因为 ，

所以 ，.

由 ，得 .

因为 ，

所以 ，

所以 ，即 .

（Ⅲ）证明：（充分性）因为 ，，

所以，

所以对一切正整数n都成立.

因为，，

所以.

（必要性）因为对于任意的，，

当时，由，得；

当时，由，，得.

所以对一切正整数n都有.

由 ，，得对一切正整数n都有，

所以公比为正有理数.

假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1.

因为是一个有限整数，

所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.

又因为，且与的最大公约数为1.

所以，这与（）矛盾.

所以.

因此，.

考点：1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.