Question

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1

（1）若点E在SD上，且证明：平面；

（2）若三棱锥S－ABC的体积，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值的大小

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：(1)由于侧棱底面，又，侧面从而,又因为，所以平面(2) 由三棱锥S－ABC的体积易得由于、、两两互相垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系，利用向量便可得面SAD与面SBC所成二面角的正弦值的大小

试题解析：(1)证明：侧棱底面，底面

1分

又底面是直角梯形，垂直于和

,又

侧面, 3分

侧面

平面 5分

(2) 连结,底面是直角梯形，垂直于和,

,,设，则，三棱锥, 7分

如图建系，

则,由题意平面的一个法向量为，不妨设平面的一个法向量为，，，则由得，不妨令，则 10分

, 11分

设面与面所成二面角为，则 12分

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间几何体的体积；3、二面角