Question

已知函数（e为自然对数的底数）

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，使得成立，求实数的取值范围

Answer

（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

试题分析：（1）求导得，根据导数的符号即可求出的单调区间（2）如果存在，使得成立，那么 由题设得，求导得 由于含有参数，故分情况讨论，分别求出的最大值和最小值如何分类呢？由得，又由于 故以0、1为界分类 当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增以上两种情况都很容易求得的范围当时，在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为中的较大者，最小值为，一般情况下再分类是比较这两者的大小，但，由（1）可知，而，显然，所以无解

试题解析：（1）∵函数的定义域为R， 2分

∴当时，，当时，

∴在上单调递增，在上单调递减 4分

（2）假设存在，使得成立，则。

∵

∴ 6分

当时，，在上单调递减，∴，即

8分

②当时，，在上单调递增，∴，即

10分

③当时，

在，，在上单调递减，

在，，在上单调递增，

所以，即――――――――

由（1）知，在上单调递减，

故，而，所以不等式无解

综上所述，存在，使得命题成立 12分

考点：1、导数的应用；2、不等关系