Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。

（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线，求证：∥平面BCDE；

（2）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；

（3）求几何体ABCDE的体积。

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）V＝2.

【解析】

试题分析： (1) 由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可得DC//EB，从而DC∥平面ABE.再由线面平行的性质定理可得DC∥，又由线面平行的判定定理可得∥平面BCDE；(2)证面面垂直，首先考虑证哪条线垂直哪个面. 结合题设和图形，可考虑证FD⊥平面AFE.因为在△DEF中，由所给长度及勾股定理可得EF⊥FD.由DC⊥平面ABC可得DC⊥AF，又由AB=AC，F是BC的中点，可得AF⊥BC，从而AF⊥平面BCDE，AF⊥FD.这样由EF⊥FD，AF⊥FD可得FD⊥平面AFE，从而得平面AFD⊥平面AFE.(3)该几何体是一个四棱锥，其顶点为A，底面为BCDE.

试题解析：(1) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC

∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，

∴DC∥平面ABE

平面ABE平面ACD，则DC∥

又平面BCDE，CD平面BCDE

所以∥平面BCDE. 4分

(2)在△DEF中，，由勾股定理知，

由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，

又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，

又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE. 9分

(3)==2. 12分

考点：1、空间直线与平面的关系；2、几何体的体积.