Question

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t该产品获利润元，未售出的产品，每t亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了t该农产品，以（单位：t，）表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润。

（1）将表示为的函数；

（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的概率），求利润的数学期望.

Answer

(1) ；(2) 0.7.

(3)T的分布列为：

T

45 000

53 000

61 000

65 000

P

0.1

0.2

0.3

0.4

.

【解析】

试题分析：(1)当X<130时，会有一部分损失，而X>130，故以130为界分两种情况分别求出利润T与X的关系式.(2)利用(1)所得解析式及利润T不少于57 000元，解不等式即可得X的范围.再根据频率分布直方图便可得下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值.(3)据题意，X取105、115、125、135、145这5个值，再根据直方图得，，，再利用（1）题所得函数式可得相应的利润及其对应的概率，从而得分布列及期望.

试题解析：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.30+0.25+0.15=0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为：

T

45 000

53 000

61 000

65 000

P

0.1

0.2

0.3

0.4

所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59400.

考点：1、函数的应用；2、频率分布直方图及概率；3、随机变量的分布列及期望.