Question

如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱,,底面为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O为AD中点.

(1)求直线与平面所成角的余弦值；

(2)求点到平面的距离；

(3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）与平面所成角的余弦值为；（2）点到平面的距离；（3）存在，.

【解析】

试题分析： 思路一、由PA=PD, O为AD中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形中,易得所以可以为坐标原点,为轴,为轴,

为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解. 思路二、（1）易得平面，所以即为所求.(2)由于，从而平面，所以可转化为求点到平面.(3)假设存在，过Q作，垂足为，过作，垂足为M，则即为二面角的平面角.设，利用求出，若，则存在，否则就不存在.

试题解析：(1) 在△PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形中,易得;

所以以为坐标原点,为轴,为轴,

为轴建立空间直角坐标系.

则,,，;

,易证:,

所以平面的法向量,

所以与平面所成角的余弦值为 .4分

（2），设平面PDC的法向量为，

则，取得

点到平面的距离 .8分

（3）假设存在，且设.

因为

所以，

设平面CAQ的法向量中，则

取，得.

平面CAD的一个法向量为，

因为二面角Q OC D的余弦值为，所以.

整理化简得：或（舍去），

所以存在，且 13分

考点：空间的角与距离.