Question

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）已知，求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（I）an=a1=()n；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（I）{an}是一等比数列，且a1=.设等比数列{an}的公比为q，由S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，可得一个含公比q的方程，解这个方程便得公比q，从而得数列{an}通项公式. （Ⅱ）由题设及（I）可得：bn=anlog2an=-n∙()n，由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.

试题解析：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知 a1=，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=， 4分

又由{an}为递减数列，于是q=，

∴an=a1=()n． 6分

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n∙()n，

∴，

于是，

两式相减得：

∴ ． 12分

考点：1.等差数列；2.等比数列的通项公式；3.错位相消法求和.