Question

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．

（Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4；（Ⅱ）不存在这样的直线l．

【解析】

试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.

试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知

解得a=1或a=， 3分

又∵S=πR2<13，

∴a=1，

∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4． 6分

（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又∵l与圆C相交于不同的两点，

联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， 9分

∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，

解得或．

x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，

，，

假设∥，则，

∴，

解得，假设不成立．

∴不存在这样的直线l． 13分

考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.