Question

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若，数列{b_n}的前n项和T_n，求满足不等式≥的最大n值．

Answer

（I）an=a1=()n；（Ⅱ）n的最大值为4．

【解析】

试题分析：（I）{an}是一等比数列，且a1=.设等比数列{an}的公比为q，由S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，可得一个含公比q的方程，解这个方程便得公比q，从而得数列{an}通项公式.

（Ⅱ）由题设及（I）可得：bn=anlog2an=-n∙()n，由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.用错位相消法可求得，变形得≥，解这个不等式得n≤4，从而得 n的最大值．

试题解析：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知 a1=，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=， 4分

又由{an}为递减数列，于是q=，

∴ an=a1=()n． 6分

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n∙()n，

∴ ，

于是，

两式相减得：

∴ ．

∴ ≥，解得n≤4，

∴ n的最大值为4． 12分

考点：1.等差数列；2.等比数列的通项公式；3. 错位相消法求和；4.解不等式.