Question

已知函数．

（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；

（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x₀；如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）a的取值范围为a≤0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）可找到一个常数，使得>x0+1成立．

【解析】

试题分析：（I）时，，求导得．由题意，≥0在上恒成立.因为ex>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，结合抛物线的图象即可得a的取值范围；（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．由于含有，故分和两种情况讨论.①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，可变为证1≤成立，这样只需利用导数求的最小值即可，求导得，易得≥0，从而g(x)≥g(0)=1.注：直接证也可，只是需要求两次导数．

②在x≤0时，要证-≤x+1成立，可变为证1≤成立，这样只需利用导数求的最小值即可.

（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即.如果变为，那么求导后式子很复杂，故尝试作其它的变形.

变形为，要找一个x0>0使该不等式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．这利用导数就容易解决了.

试题解析：（I）∵时，，

∴．

由题意，≥0在上恒成立，

当a=0时，>0恒成立，即满足条件．

当a≠0时，要使≥0，而ex>0恒成立，

故只需≥0在上恒成立，即

解得a<0．

综上，a的取值范围为a≤0． 4分

（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．

①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，

只需证≤，即证1≤， ①

令，得，

整理得，

∵x≥0时，≤1，结合a≥1，得≥0，

∴为在上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．

②在x≤0时，要使-≤x+1成立，

只需证≤，即证1≤， ②

令，得，

而在x≤0时为增函数，

故≤≤0，从而≤0，

∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．

综上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立． 10分

（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即，

变形为， ③

要找一个x0>0使③式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．

∵，

令得，则x=-lna，取x0=-lna，

在0-lna时，，

即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数，

∴当x=-lna时，取得最小值

下面只需证明：在时成立即可．

又令，

则≥0，从而在(0，1)上是增函数，

则，从而，得证．

于是的最小值，

因此可找到一个常数，使得③式成立． 14分

考点：导数与不等式