Question

如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面⊥底面，若、分别是、的中点．

（1）求证：∥底面；

（2）求证：⊥平面；

（3）求几何体的体积．

Answer

详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据：面面平行，线面平行的定理，所以取的中点,连,分别为的中点，所以,然后根据面面平行的判定定理证明面//面,进一步证得∥底面；（2）根据,证得是直角，根据面面垂直，的性质定理，结合是边长为的正方形，得,证得线线垂直，线面垂直；（3）取中点,即,几何体看成四棱锥的体积，代入公式,根据面面垂直，线面垂直的性质定理等可证，,代入数字，得到结果.

试题解析：（I）【解析】
取的中点，连结，（如图）

因为分别是和的中点，

所以，， 2分

又因为为正方形， 所以，从而，

所以平面，平面，，

所以平面//平面，

所以//平面.

（2）因为为正方形，所以，所以平面， 4分

又因为平面⊥平面，所以平面， 6分

所以，

又因为，

所以，

因为,

所以平面. 8分

（3）连结，因为，所以， 9分

又平面⊥平面，平面，所以⊥平面。

因为三角形是等腰直角三角形，所以， 11分

因为是四棱锥，

所以=.

考点：1.线面平行的判定定理；2.线面垂直的判定定理；3.体积公式.