Question

如图，焦距为的椭圆的两个顶点分别为和，且与n，共线．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，

求实数的取值范围．

Answer

(1) ;(2).

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆方程写出顶点的坐标，然后写出的坐标,利用两向量共线的充要条件：,得与的关系，结合,解出与,求出椭圆的方程;（2）设直线，与椭圆有两个不同的交点和,设,将直线方程代入椭圆方程，消去,得到关于的方程，由两个不同交点，,并且得到与,原点总在以为直径的圆的内部，为钝角，即,整理，代入根与系数的关系，比较得出的取值范围.

试题解析：（1）【解析】
设椭圆的标准方程为，由已知得，，，，所以，，

因为与n，共线，所以， 2分

由，解得，，

所以椭圆的标准方程为. 4分

（2）【解析】
设，，，，把直线方程代入椭圆方程，

消去，得，

所以，， 8分

，即 （*） 9分

因为原点总在以为直径的圆的内部，

所以，即， 10分

又，

由得， 13分

依题意且满足（*）得

故实数的取值范围是，. 14分

考点：1.椭圆的性质与方程；2.向量共线的充要条件；3.直线与椭圆相交.