Question

如图，椭圆经过点，其左、右顶点分别是、，左、右焦点分别是、，（异于、）是椭圆上的动点，连接交直线于、两点,若成等比数列.

（Ⅰ）求此椭圆的离心率；

（Ⅱ）求证:以线段为直径的圆过点.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于成等比数列，利用等比中项可知，在等式两边同时除以得；（Ⅱ）又由，椭圆经过点可知，可得椭圆方程为，设，利用点斜式求出，将与联立，求出，则可求，得到结论.

试题解析：（1）由题意可知，成等比数列，所以；

（2）由，椭圆经过点可知，椭圆方程为

设，由题意可知

解得，则

故以线段为直径的圆过点.

考点：1.等比中项的性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆的定义.