Question

设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（    ）

A.               B.                 C.2                 D.4

Answer

A

【解析】

试卷分析：首先写出f(f(x))表达式，当时，；当时，；当时，，考虑到题目说的要求x的唯一性，即当取某个y值时，f(f(x))的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内。因此我们要先求出f(f(x))在每段区间的值域。当时，；当时，；当时, .从中可发现，上面两段区间的值包含在最后一段区间内，换一句话就是说假如f(f(x))取在小于等于1的范围内的任何一个值，则必有两个x与之对应。因此，考虑到x的唯一性，则只有使得f(f(x))>1,因此题目转化为当y>2时，恒有。因此令,题目转化为y>2时，恒有g(y)>0,又g(y)=(2ay-1)（ay+1），为了要使其大于0，则或，考虑到题目要求a的正实数，则ay<-1不考虑。因此，在y大于2的情况下恒成立。因此，所以a的最小正实数为 (因为y本身取不到2，因此a可以取）.

考点：1.指数与对数的运算；2.不等式恒成立问题；3.函数的值域.