Question

如图1，已知的直径，点、为上两点，且，，为弧的中点．将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点；（Ⅲ）;

【解析】

试题分析：（1）以O为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，利用向量共线的坐标表示求证OF∥AC，从而说明线面平行；（2）假设在弧上存在点G，使得FG∥平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，从而得到OG∥AD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数），然后由向量的模等于圆的半径求出G点坐标；（3）根据，∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值．
试题解析：（法一）：证明：（Ⅰ）连接，

，，

又为弧的中点，，．

（Ⅱ）取弧的中点，连接，

则，故

由（Ⅰ），知平面，故平面平面，

则平面，因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．

（Ⅲ）过作于，连．

因为，平面平面，故平面．

又因为平面，故，所以平面，，

则是二面角的平面角，又，，故．

由平面，平面，得为直角三角形，

又，故，可得==，故二面角的正弦值为.

（法二）：证明：（Ⅰ）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则，

，

点为弧的中点，点的坐标为，

，，即．

（Ⅱ）设在弧上存在点，使得平面，

由（Ⅰ），知平面，平面平面，则有．

设，，．又，

，解得(舍去)．，则为弧的中点．

因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．

（Ⅲ），点的坐标，．

设二面角的大小为，为平面的一个法向量．

由有即

取，解得，．，取平面的一个法向量，

，故二面角的正弦值为.

考点：1.空间中直线与直线位置关系的判定；2.直线与平面平行的判定；3.二面角的平面角及求法．.