Question

学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．

（Ⅰ）求水面宽；

（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？

（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）;

【解析】

试题分析：（Ⅰ）建立适当直角坐标系，设抛物线方程为，由抛物线过点，可得，可求出抛物线方程为，当时，，由求出水面宽为（米）；

（Ⅱ）利用定积分求出曲面的面积，再利用柱体的体积公式求出体积；

（Ⅲ）易知为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切，设切点是抛物线弧上的一点，过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形，则切线的方程为：，于是，记梯形的面积为，则，利用基本不等式求出当且仅当，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少.

试题解析：（Ⅰ）如图建立直角坐标系，

设抛物线方程为．

则由抛物线过点，可得．

于是抛物线方程为．

当时，，由此知水面宽为（米）．

（Ⅱ）（立方米）

（Ⅲ）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．

设切点是抛物线弧上的一点，过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形，则切线的方程为：，于是．

记梯形的面积为，则，

当且仅当，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少.

考点：1.抛物线的标准方程；2.定积分的应用；3.基本不等式在求函数的最值中的应用.