Question

在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.

（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）;

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据提议可知，点在线段的垂直平分线上，则，又，则，设，可得点的轨迹方程为.

（Ⅱ）设经过点的直线为，由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，将其代入椭圆方程整理可得，设，则，故；对进行讨论（1）当时，点关于原点对称，则；（2）当时，点不关于原点对称，则

由，得，故则，因为在椭圆上，故

化简，得，又，故得 ①

又，得 ②

联立①②两式及，得，故且综上得实数的取值范围是.

试题解析：（Ⅰ）点在线段的垂直平分线上，则，又，

则，故可得点的轨迹方程为.

（Ⅱ）令经过点的直线为，则的斜率存在，设直线的方程为，

将其代入椭圆方程整理可得

设，则，故

（1）当时，点关于原点对称，则

（2）当时，点不关于原点对称，则

由，得，故

则，因为在椭圆上，故

化简，得，又，故得 ①

又，得 ②

联立①②两式及，得，故且

综上（1）（2）两种情况，得实数的取值范围是.

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.