已知数列
的前
项和为
满足
.
（Ⅰ）函数
与函数
互为反函数，令
，求数列
的前项和
；
（Ⅱ）已知数列
满足
，证明:对任意的整数
，有
.
在平面直角坐标系中,已知点
和
,圆
是以
为圆心,半径为
的圆,点
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程
；
（Ⅱ）已知
，
是曲线
上的两点，若曲线
上存在点，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.
学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽
为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为
，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
如图1，已知
的直径
，点
、
为
上两点，且
，
，
为弧
的中点．将沿直径
折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）在弧
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角
的正弦值.
已知函数
的部分图象如图所示，其中点为最高点，点为图象与轴的交点，在
中，角
对边为
，
，且满足
.
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求函数
的单调递增区间.
已知函数
，其中
.
（Ⅰ）若
，求函数
的极值点；
（Ⅱ）若
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围.
