Question

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为,若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ） ，；(Ⅱ)

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据数列的通项与数列前项和的关系，由 ，得；两式相减得数列的递推公式，从而得出数列通项公式.由此可求以确定等比数列的首项和公比,进而得到数列的通项公式.

(Ⅱ)由（Ⅰ）的结果求,把变形为,,所以不小于的最大值.

只需探究数列的单调性求其最大值即可.

试题解析：（Ⅰ）当时，，

, 2分

当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得, 3分

由条件可知， 4分

是首项,公差的等差数列.

数列的通项公式为. 5分,

数列的通项公式为 6分

(Ⅱ) ， 对恒成立对恒成立， 9分

令，，

当时，，当时，，． 12分

考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前项和.2、参变量范围的求法.