Question

如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．

（Ⅰ)求证:平面平面；

（Ⅱ）若,求四棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ)见解析（Ⅱ）1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ)首先由余弦定理求,由勾股定理确定,所以,

结合条件平面,可知,于是可证平面.

平面平面（Ⅱ）求四棱锥的体积有两个途径,第一,利用（Ⅰ)的结论平面平面,因为,取中点,连结,可证是四棱锥的高,从而求四棱锥的体积；第二、因为，所以从而方便求解.

试题解析：（Ⅰ)证明： 在中,由余弦定理得：，

所以,所以,即， 3分

又四边形为平行四边形,所以，

又底面,底面,所以， 4分

又,所以平面, 5分

又平面,所以平面平面． 6分

（Ⅱ）法一：连结，∵，∴

∵平面，所以，

所以四边形的面积， 8分

取的中点，连结，则，且，

又平面平面,平面平面，

所以平面， 11分

所以四棱锥的体积：

． 13分

法二: 四棱锥的体积， 8分

而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， 10分

所以． 13分

考点：1、直线 与平面、平面与平面垂直的判定及性质；2、棱锥的体积.