Question

在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ) 直线与圆相切

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由题意得 ，又，结合,可解得的值,从而得椭圆的标准方程.(Ⅱ)设,则,当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性易求两点的坐标,并判断直线与圆是否相切.当直线的不与轴垂直时,可设其方程为

,与椭圆方程联立方程组消法得: ，

,结合,可得与的关系,由此可以判断与该直线与圆的位置关系.

试题解析：解(Ⅰ)由已知得,由题意得 ，又， 2分

消去可得，，解得或（舍去），则，

所以椭圆的方程为． 4分

(Ⅱ)结论：直线与圆相切.

证明:由题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为

(ⅰ)当直线轴时,直线的方程为且

则

解得，故直线的方程为 ，

因此,点到直线的距离为，又圆的圆心为,

半径 所以直线与圆相切 7分

(ⅱ)当直线不垂直于轴时,

设直线的方程为，联立直线和椭圆方程消去得；

得 ，

，故，

即① 10分

又圆的圆心为,半径，

圆心到直线的距离为，

② 将①式带入②式得：，

所以 因此,直线与圆相切 13分

考点：1、椭圆和抛物线的标准方程；2、直线与抛物线的位置关系.