Question

等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).

（Ⅰ）求证:平面;

（Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

Answer

（Ⅱ）在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时

【解析】

试题分析：（Ⅰ）二面角为直二面角,要证平面；只要证；

（Ⅱ）假设存在点,使直线与平面所成的角为，根据直线与平面所成的角的定义作出

直线与平面所成的角，设的长为，用表示，在直角中，

根据勾股定理列出方程，若方程有解则存在，否则不存在.或借助已有的垂直关系；也可以为坐标原点建立空间直角标系,求出平面的一个法向量 ，利用建立方程，解这个方程探求 点的存在性.

试题解析：证明:(1)因为等边△的边长为3,且,

所以,. 在△中,,

由余弦定理得

. 因为,

所以. 3分

折叠后有,因为二面角是直二面角,

所以平面平面 ,又平面平面,

平面,, 所以平面. 6分

(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.

如图,作于点,连结、 ，

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面,

所以是直线与平面所成的角 , 8分

设,则,,在△中,,所以 ,在△中,, ,由, 得 ,解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 12分

解法2:由(1)的证明,可知,平面.

以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则,, ,所以,,,所以 ,因为平面, 所以平面的一个法向量为 , 9分

因为直线与平面所成的角为,

所以,

解得 ,即,满足,符合题意,所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 . 12分

考点：1、直线与平面垂直的判定；2、直线与平面所成角的求法；3、空间直角坐标系.