Question

在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值；

（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作，设交于点，

证明:当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.

Answer

（Ⅰ）椭圆的方程为；(Ⅱ)3；（III）点在直线上.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点求出椭圆的焦点，又椭圆过点，得：，

且，，解方程组可得椭圆的方程：

(Ⅱ)设出切点的坐标和切线的方程，利用直线和椭圆相切的条件，证明为定值.

（III）利用(Ⅱ)的结果,由,写出直线的方程,可解出交于点

的坐标,进而证明当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.

试题解析：(Ⅰ)由题意得 ，

又， 2分

消去可得，，解得或（舍去），则，

求椭圆的方程为． 4分

(Ⅱ)设直线方程为，并设点，

由.

， 6分

，当时，直线与椭圆相交，所以，，

由得，， 8分

，整理得：.而,代入中得

为定值. 10分

（用导数求解也可，若直接用切线公式扣4分，只得2分）

（III）的斜率为：，又由,

从而得直线的方程为：,联立方程,

消去得方程，因为， 所以 ，

即点在直线上. 14分

考点：1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆的位置关系；