Question

已知函数．

（1）求证：时，恒成立；

（2）当时，求的单调区间．

Answer

（1）详见试题解析；（2）时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为和；时，的单调递减区间为，无单调增区间．

【解析】

试题分析：（1）当时，，根据求函数极值的一般步骤，先求函数的定义域，再求导数，解的方程，得可能的极值点，进一步得函数的单调性，最后得的最小值，从而证得恒成立；（2）当时，先求的导数：，根据表达式的结构特征，分子为，故只需分，，几种情况，分别求函数的单调区间．

试题解析：（1）当时，，，，令，解得：．当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，∴．

所以，， ． 5分

（2）的定义域为，．

①当时，，此时在区间上单调递增，在上单调递减；

②当时，．令，解得：．

ⅰ）当时，，令，解得：．令，解得：或，此时在区间上单调递增，在和上单调递减．

ⅱ）当时，，此时，在区间上单调递减．

综上，时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为和；时，的单调递减区间为，无单调增区间． 13分

考点：1．利用导数证明不等式；2．利用导数讨论函数的单调性．