Question

已知函数，以点为切点作函数图像的切线，直线与函数图像及切线分别相交于，记．

（1）求切线的方程及数列的通项；

（2）设数列的前项和为，求证：．

Answer

（1）切线的方程为，数列的通项公式为；（2）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由导数的几何意义，先对函数求导，求导函数在处的函数值，即得切线的斜率，最后由直线的点斜式方程即可求得切线的方程，进一步结合已知条件可得的坐标，由两点间的距离公式可得数列的通项；（2）首先写出数列的前项和的表达式，根据数列通项公式的结构特征选择裂项相消法求和，进而可证明不等式．

试题解析：（1）对求导，得，则切线方程为：，即，易知，，

由知=．

（2）==，===＜1.

考点：1．导数的几何意义；2．数列通项公式及前项和的求法（裂项相消法）；3．数列不等式的证明．