Question

已知椭圆的右焦点为，设左顶点为A，上顶点为B且，如图．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，过的直线交椭圆于两点，试确定的取值范围．

Answer

（1）椭圆的方程为；（2）的取值范围为．

【解析】

试题分析：（1）首先写出，，，由及向量数量积的坐标运算，可得方程，又由椭圆中关系得，解这个方程组得的值，从而得椭圆的标准方程；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，，此时，，＝；若直线斜率存在，设，代入椭圆方程消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理，把表示成斜率的函数，求此函数的值域，即得的取值范围．

试题解析：（1）由已知，，，，则由得：．

∵，∴，解得，∴，∴椭圆． 4分

（2）①若直线斜率不存在，则，此时，，＝；

②若直线斜率存在，设，，则由消去得：，∴，，∴

＝．∵，∴，∴，∴．

综上，的取值范围为． 13分

考点：1．椭圆的标准非常及其几何性质；2．直线和椭圆的位置关系；3．利用向量的数量积运算解决椭圆中的取值范围问题．