Question

已知函数满足，当时；当时.

(Ⅰ)求函数在（-1,1）上的单调区间；

(Ⅱ)若，求函数在上的零点个数.

Answer

(Ⅰ) 单调递减区间为，递增区间为； (Ⅱ)参考解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为时，函数是单调递减的，时，函数的图像的对称轴是，开口向上.所以递减，的递增.又因为当.所以综上可得函数的单调递减区间为，递增区间为.

(Ⅱ)因为函数满足即函数的周期为2.又因为由(Ⅰ)可知（-1,1）的函数走向.所以可以知道函数在[0,3]上的图像走向.因为，求函数在上的零点个数.即等价于求方程的根的个数.即等价于.即等价于函数与的图像的交点个数.所以通过如图所示即可解得结论.

试题解析：（1）由题可知

由图可知，函数在的单调递减区间为，

在递增区间为 6分

考察数形结合思想

（2）当时，有1个零点 8分

当时，有2个零点 10分

当时，有3个零点 12分

当时，有4个零点 13分

考点：1.函数的周期性.2.分段函数的性质.3.函数图像解题的思想.4.分类，归纳的思想.