Question

如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F(2，0)，过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.

Answer

(Ⅰ) ； (Ⅱ)参考解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为右焦点为F(2，0)，所以可得c=2,又因为过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.所以.再利用椭圆中的关系式.即可求出b的值，从而可得结论.

(Ⅱ)假设.通过以及点在椭圆上，消去.即可得一个用表示的一个等式.又由于.通过对比向量与即可得结论.

试题解析：（1）由题意可知：，则，，从而，故所求椭圆的方程为． 5分

（2）【解析】
三点共线.

证明：，由已知得方程组

注意到，解得，因为，所以

,

又

，所以，从而三点共线。 12分

考点：1.椭圆的基本性质.2.向量的共线问题.3.椭圆的标准方程.