Question

设数列的各项均为正数，其前n项的和为，对于任意正整数m,n, 恒成立.

(Ⅰ)若=1,求及数列的通项公式;

(Ⅱ)若,求证:数列是等比数列.

Answer

(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ)参考解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ)通过令，可求得.同理可以求出.由于所给的等式中有两个参数m,n.所以以一个为主元，让另一个m=1,和m=2取特殊值通过消去即可得到一个关于与的递推式.从而可求出的通项式，从而通过，可求出通项.但前面两项要验证是否符合.

(Ⅱ)因为已知，所以令.即可求得与的关系式.再利用.又得到了一个关于与的关系式.从而可得与的关系式.又根据与.可求出.再根据及.即可求出结论.最后要验证前两项是否成立.

试题解析：（1）由条件，得 ①

在①中，令，得 ②

令，得 ③

③/②得，记，则数列是公比为的等比数列。

④

时，， ⑤

④-⑤，得，当n≥3时，{}是等比数列.

在①中，令，得，从而，则，所以.

又因为，所以 2分

在①中，令，得，则⑥

在①中，令，得，则⑦

由⑥⑦解得： 6分

则，由

得

又，也适应上式，所以. 8分

（2）在①中，令，得，则，所以；

在①中，令，得，则，所以，则，；代入式，得 12分

由条件得

又因,所以

故，

因为，也适应上式，所以

所以数列是等比数列． 14分

考点：1.数列的递推思想.2.数列通项与前n项和的转化关系.3.归纳推理的思想.4.消元方程化简的能力.