Question

如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.

（1）求证：平面平面；

（2）求证： ∥平面；

（3）求多面体的体积.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用矩形所在的平面和平面互相垂直，且

得到平面，；

应用余弦定理知，得到；

由⊥平面，得到平面平面；

（2）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化； 8分

（3）将多面体的体积分成三棱锥与

四棱锥的体积之和，分别加以计算.

试题解析：（1）矩形所在的平面和平面互相垂直，且

∴平面，

又平面，所以 1分

又，，，由余弦定理知，

∴得 2分

∴⊥平面， 3分

平面；∴平面平面； 4分

（2）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，

∴∥，又∵平面，∴∥平面 5分

连结，则∥，平面，∥平面 6分

∴平面∥平面， 7分

平面

8分

（3）多面体的体积可分成三棱锥与

四棱锥的体积之和 9分

在等腰梯形中，计算得，两底间的距离

所以 10分

11分

所以 12分

考点：平行关系，垂直关系，几何体的体积.