Question

设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.

（1）求函数，的解析式；

（2）求函数在上的最小值；

（3）判断函数零点个数.

Answer

（1）.

（2）；

（3）函数只有一个零点.

【解析】

试题分析：(1) 应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组.

(2) 应用导数研究函数的最值，基本步骤明确，本题中由于中的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论.

当时，在单调递减，单调递增，

得到.

当时，在单调递增，得到；

即 .

（3）由题意

求导得，

由,确定的单调区间：上单调递增，在上单调递减

根据，

得到函数只有一个零点. 13分，即得所求.

试题解析：(1) ， 1分

由题意，两函数在处有相同的切线.

，

. 3分

(2) ，由得，由得，

在单调递增，在单调递减. 4分

当时，在单调递减，单调递增，

∴. 5分

当时，在单调递增，

；

6分

（3）由题意

求导得， 8分

由得或，由得

所以在上单调递增，在上单调递减 10分

11分

12分

故函数只有一个零点. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、最值，函数的零点.