Question

如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.

（1）求证：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化；

（2）立体几何中的求角问题，往往有两种思路，即“几何法”和“向量法”.本题应用“几何法”，应注意“一作，二证，三计算”，注意在直角三角形中解决问题；

应用“向量法”，要注意利用已有的垂直关系，一建立空间直角坐标系.

本题建系后，确定点的坐标及平面的法向量为， 及

计算得到 ，利用角的“互余”关系，即得直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：（1）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，

∴∥，又∵平面，∴∥平面 2分

连结，则∥，平面，∥平面 4分

∴平面∥平面， 5分

平面， 6分

（2）矩形所在的平面和平面互相垂直，

所以平面，又平面，所以 7分

又，，，

由余弦定理知，得 8分

∴⊥平面 9分

所以为直线与平面所成的角， 10分

在直角三角形中

12分

法二：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

7分

设平面的法向量为，

， 8分

由 所以

令，则 ，所以， 10分

∴ 11分

∴直线与平面所成角的正弦值为 12分

考点：平行关系，空间的角，空间向量的应用.