Question

过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（I）根据,设直线方程为,

确定的坐标，由确定得到，

再根据点在椭圆上，求得进一步即得所求；

（2）由可设,

得到椭圆的方程为，

由得

根据动直线与椭圆有且只有一个公共点P

得到,整理得.

确定的坐标，

又,

若轴上存在一定点，使得,那么

可得,由恒成立,故，得解.

试题解析：（1）∵ ,设直线方程为,

令,则,∴, 2分

∴ 3分

∵，∴=,

整理得 4分

∵点在椭圆上,∴,∴ 5分

∴即,∴ 6分

（2）∵可设,

∴椭圆的方程为 7分

由得 8分

∵动直线与椭圆有且只有一个公共点P

∴,即

整理得 9分

设 则有,

∴ 10分

又,

若轴上存在一定点，使得,

∴恒成立

整理得, 12分

∴恒成立,故

所求椭圆方程为 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.