Question

设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.

(1)求函数，的解析式；

(2)求函数在上的最小值；

(3)若对恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) .

(2) ；

（3）满足题意的的取值范围为.

【解析】

试题分析：(1) 应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组.

(2) 应用导数研究函数的最值，基本步骤明确，本题中由于中的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论.

当时，在单调递减，单调递增，

得到.

当时，在单调递增，得到；

即 .

（3）构造函数，

问题转化成.

应用导数研究函数的最值，即得所求.

试题解析：(1) ， 1分

由题意，两函数在处有相同的切线.

，

. 3分

(2) ，由得，由得，

在单调递增，在单调递减. 4分

当时，在单调递减，单调递增，

∴. 5分

当时，在单调递增，

；

6分

（3）令，

由题意当 7分

∵恒成立， 8分

， 9分

，由得；由得

∴在单调递减，在单调递增 10分

①当，即时，在单调递增，

，不满足. 11分

当，即时，由①知，，满足

. 12分

③当，即时，在单调递减，在单调递增

，满足.

综上所述，满足题意的的取值范围为. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式，转化与划归思想.