Question

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连结椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左顶点作直线交椭圆于另一点, 若点是线段垂直平分线上的一点,且满足,求实数的值．

Answer

（1）椭圆的方程为；（2）满足条件的实数的值为或.

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的几何性质及到直线的距离为，建立的方程组即得；

（2）由（1）知:, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

应用韦达定理以便于确定线段的中点坐标为.

讨论当，的情况，确定的值.

试题解析：（1）设,的坐标分别为,其中

由题意得的方程为:

因到直线的距离为,所以有,解得 1分

所以有 ①

由题意知: ,即 ②

联立①②解得:

所求椭圆的方程为 5分

（2）由（1）知:, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,，

，线段的中点坐标为 7分

(ⅰ)当时, 则有,线段垂直平分线为轴

于是

由,解得: 9分

（ii）因为点是线段垂直平分线的一点,

令,得:，于是

由,解得:

代入,解得:

综上, 满足条件的实数的值为或 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积.