Question

已知函数.

（1）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）在（1）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；

（3）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.

Answer

（1）

（2）当或时，；

当时，；

（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义，明确曲线在点处的切线的斜率为,建立方程

，再根据曲线经过点，得到方程，解方程组即得所求.

（2）利用“表解法”，确定函数的极值，注意讨论或及，的不同情况；

（3）根据在区间内存在两个极值点，得到，

即在内有两个不等的实根．

利用二次函数的图象和性质建立不等式组 求的范围.

试题解析：（1），

直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为,

①

曲线经过点， ②

由①②得： 3分

（2）由（1）知：，，, 由，或.

当，即或时，，，变化如下表

+

0

-

0

+

极大值

极小值

由表可知：

5分

当即时，，，变化如下表

-

0

+

0

-

极小值

极大值

由表可知：

7分

综上可知：当或时，；

当时， 8分

（3）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，

即在内有两个不等的实根．

∴ 10分

由 （1）+（3）得：， 11分

由（4）得：，由（3）得：，

，∴．

故 13分

考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极值，二次函数的图象和性质，不等式组的解法.