Question

在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足=== (如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).

(1)求证: E⊥平面BEP;

(2)求直线E与平面BP所成角的大小.

Answer

(1)见解析；(2)直线E与平面BP所成角的大小为.

【解析】

试题分析：(1)为计算上的便利，不妨设正三角形ABC的边长为3,

利用已知条件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB为二面角EFB的平面角,根据二面角EFB为直二面角,得到E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”求角.

试题解析： (1)不妨设正三角形ABC的边长为3,

则在图(1)中,取BE的中点D,连接DF,

∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,

则△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,

∴在图(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB为二面角EFB的平面角,

∵二面角EFB为直二面角,∴E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(0,0,0), (0,0,1),B(2,0,0).连接DP,由(1)知EF􀱀DP,DE􀱀FP,

故点P的坐标为(1,,0),

∴=(2,0,-1), =(-1,,0), =(0,0,1),

不妨设平面的法向量=(x,y,z),

则,

令y=,得=(3,,6),∴cos<, >===,

则直线E与平面BP所成角的正弦值为,故直线E与平面BP所成角的大小为.

考点：直线与平面垂直，二面角的定义，线面角的计算，空间向量的应用.